《数学内外》InsideandOutsideofMathematics
在我国古代，数学叫作算术，是六艺之一。六艺指六种技能：礼、乐、射、御、书、数，其中的“数”就是指算术，也就是数学。六艺源自于中国周朝的贵族教育体系，周王官学要求学生掌握的六种基本才能。有点像我们今天高考一样，即使是文科考生，也要考数学，学数学的也需考语文。
在我国古代，数学叫作算术，古希腊是西方文明的源头之一，是西方文明最重要和直接的渊源。西方有记载的文学、科技、艺术大都是从古代希腊开始的。当然古希腊不是一个国家的概念，而是一个地区的称谓。数学在古希腊语有学习、学问、科学之意，被认为是“学问的基础”。
数学在古希腊语有学习、学问、科学之意
古希腊数学家普洛克拉斯说：“哪里有数学，哪里就有美。”数字不仅可以展现美，它还可以量化世间万物，让事物变得更有趣。我国著名数学家华罗庚先生说过：“就数学本身而言，是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的…认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美！”数学美是自然美的客观反映，是科学美（内在美）的核心，也体现在艺术等美中。
比如，自然界中的花朵。大家春天都喜欢踏青赏花，在花朵上也能找到数学的影子。比如三角梅有3片花瓣，银莲花有5片花瓣。图片上这朵向日葵，呈现出斐波那契数列，斐波那契数列是从第3项开始，每一项都等于前两项之和。这朵向日葵有21个深蓝色螺旋和13个宝石绿螺旋。13和21是斐波那契数列中的相邻数字。仿佛花朵也有“数学头脑”。
建筑中也有数学。下图是谢克洛弗拉清真寺房顶，建于17世纪的伊朗伊斯法韩，使用了双螺旋图案。它建于至年阿巴斯一世统治时期，建造工程历时长达17年，用于献给阿巴斯的岳父SheikhLotfollah，这个清真寺也用岳父的名字命名，SheikhLotfollah是一位受人尊敬的黎巴嫩伊斯兰教学者，应邀来到伊斯法罕监管国王的清真寺和神学院。从高高的窗格射进来的光线会随着阳光的角度不断变化，甚至穹顶上用到的白色瓷砖据说也会在一天里由白色变成粉红，真是非常奇妙。另外，为了保证信徒朝拜的方向对着圣地麦加，设计清真寺时需要经过严密的数学计算。
建于17世纪的伊朗伊斯法韩谢科洛夫拉清真寺的房顶
大家所熟知的画家达芬奇，在他的画中，也能看到大量的数学理念。当然达芬奇为大家所熟知的是他画家的身份，其实他也精通生理解剖、建筑、音乐、以及数学等等，被誉为是全才。著名的数学表达式斐波纳契数列以及其中衍生的“*金分割”定律，在达芬奇为数不多却闻名于世的绘画作品中反复运用，其中就包括《蒙娜丽莎》和《最后的晚餐》。
《蒙娜丽莎》中体现的*金分割率
达芬奇《最后的晚餐》
数学是一座百花齐放的美丽花园，但它的周围有墙挡着，外边的人不能一下子就领略到它的美丽。如果只是站在门外看，只能看到它通过自然和艺术等表现的美。数学作为科学之母，它的抽象和严谨，也决定了需要有一些基础和投入更多的理解力才能真正感受它更深刻、更美妙的魅力。
数字的起源
据专家考证，数学起源于人类早期的生产活动，其基本概念的精炼就已出现在古埃及等的古代数学文本内。最早，人类采用实物记数的方法，如用小石头、树枝等，后来变成在骨片上刻画来计数。随着生产力的发展，后来有了绳子，便出现了结绳计数。我国《易经》中提到了“结绳计数”，在世界其他地方，如印加帝国、希腊、波斯、罗马都有。
公元前年左右，人们便开始用陶筹计数作为计数器，后来陶筹被沿用了年未曾间断。举个例子来说，当时的羊群所有者如何保证帮他放羊的牧羊人，在很长一段时间的放牧之后，羊群数目能对的上呢？当时的古人使用的是陶筹这样的计数工具。陶筹计数简单来说，就是双方把陶筹包裹在空心泥球里保存，双方在表面签名，以证明其真实性，这样即使是牧羊人放牧了很长一段时间后回来，羊群所有者和牧羊人对一下陶筹与羊群的数量即可，解决了信息不对称的问题。后来人们在表面画出内部样子，就可在不破坏泥球的前提下，知晓内部数量。
陶铸计数
有考古学家认为陶筹与楔形文字的发明有重要关系。再后来随着人们智力的发展和实践活动的不断磨练总结经验，人们意识到不需要实际的陶筹，把筹码数量画在板上即可，就有了泥板。这里要提到的一个古老的民族——苏美尔人。苏美尔人是于公元前年左右迁徙到西亚两河流域南部地区居住的一支古老民族。苏美尔人于公元前年就进入了文明时期,创造了人类历史上最早的一个古文明，公元到公元前年，苏美尔人的乌鲁克泥板上发现了第一个有记录财务数据的文件。我们从下图显示的泥板中得知：一个叫辛库的财务在37个月中收到单位的大麦。
苏美尔人的乌鲁克泥板
起初计数的符号取决于被计数的对象，羊与牛的符号是不一样的。
公元前3千纪初期，数字获得了新的生命形式。为了表示10头牛，人们可以不再画10个牛头，只需写个数字10，旁边画一个牛头。这一刻意味着，数字已经独立存在。数字从具体物品中、从现实中抽离出来，产生了数的概念。这是人类一个最伟大的发明。起初是自然数，如1，2，3，4，5，6，7，8，9，…这些数字我们称为阿拉伯数字，实际上我们现在通用的这种数字书写法是印度人发明的，大约在年左右，阿拉伯学者在被征服的地区发现当地数学比他们的先进，于是接纳了这套印度数字，阿拉伯世界随后见证了数学的巨大发展，而当时的欧洲人却对此视而不见，仍然使用较为费事的罗马数字。数学家斐波那契是在西方推行印度阿拉伯数字的先行者，一直到13世纪印度阿拉伯计数法才慢慢在西方推广开来，可见开放心态和慧眼识珠的重要性。之后由于实际应用和四则运算，就需要引进有理数，即两个整数的比。古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯是有记载的第一个注重“数”的人，当时他发出感叹说：数是万物之本。数字的抽象化，是一个极其重要的具有划时代意义的节点。
毕达哥拉斯画像
数的概念产生之后，数学逐渐形成独立的学科。早期几何学是关于长度、角度、面积和体积的经验原理，用于满足在测绘、建筑、天文和工艺制作中的实际需要。几何的英文geometry，由词根geo-（大地）加上metry（测量）组成，本意是“测量大地”，最初的几何学就是如何测量土地面积的学问。可以说最初的土地测量员就是“最接地气”的“数学家”。
土地测量员等早期“数学家”要解决的主要问题包括：如何划分土地面积？如何按照面积计算土地的价格？两块地哪块更接近水源？水渠的修建应该遵守什么样的路线才能使距离最短？等等这些与生产生活紧密相关的问题。
据说治水的大禹是我国最早的测量员之一。战国时期水利家郑国，他主持勘察测量、设计的郑国渠是我国古代四大古渠之一。这其中还有一个有趣的故事，郑国其实是韩国的间谍，他前往秦国游说秦王修筑水利工程，以起到拖累秦国的目的。但没想到，水渠修筑之后，秦国国力因此变得更加强大。虽然郑国未能起到拖垮秦国的目的，但是作为一名卓越的水利专家，郑国治理水患，改变了关中农业区的面貌，值得称颂。这个故事也告诉我们：自强才是御敌之本。
郑国与郑国渠图示
下图中展示了新石器时代的陶罐，上面有很多几何纹饰，这些几何纹饰来源于生产生活，反映了当时社会生活的各个方面，包括图腾崇拜等，也有一种说法是这些陶罐反映了原始人的审美观念已经从实用中分离出来。马家窑文化因最早发现于甘肃省临洮县的马家窑村而得名，年代约为公元前年至前年，也就是距今五千七百多年的新石器时代晚期。半山文化是马家窑文化的晚期类型之一，因甘肃省广河县（一说是和*县）半山遗址而得名。
新石器时代的陶罐
差不多同期，在公元前年，埃及人就有方形棱锥的锥台体积的正确公式。大家熟知的埃及金字塔就是对称、比例精确的三角形。金字塔是由无数裁切准确的巨大石块组成的帝王陵墓，当时的人们把金字塔有条不紊地安置在规矩的空间中，呈现出高度秩序。
古巴比伦与中国、古埃及、古印度一并称为“四大文明古国”。图片中所示的是古巴比伦伊什塔尔城门。这是德国考古学家在发现巴比伦古城时发掘，之后带回了柏林的博物馆。
德国佩加蒙博物馆伊什塔尔城门
古巴比伦时期的数学很发达，计数法采用的是十进位和六十进位法。钉头型代表1，尖头型代表10，通过加法这两个符号可以表示直到59，比如32由3个尖头型和2个钉头型构成。从60开始使用符号组，记录60的符号也是由之前的符号构成，比如数字由2个60构成，再加25个单位。六十进位法应用于计算周天的度数和计时，至今为全世界所沿袭。在代数领域，古巴比伦人已经可解含有三个未知数的方程式。另外，古巴比伦人还有一个三角函数表。
古巴比伦计数法
数学经过初期的发展后，不再局限于田间地头、修筑工程等与农业生产等息息相关的技术，而是逐渐形成了一门研究数量、结构、变化、空间等概念的学科。数学形成学科之后，越发突显这样的几个特点：数学的指向是现象背后的客观规律，它是抽象的，严密的逻辑是其基础。数学追求的是抽象美和终极真理。它逻辑性强并以兴趣和好奇心为首要驱动。数学非常纯粹，它的正确与否不因人的意志而改变。
世界上比较早地用严密逻辑探讨世界本源的发端之一是意大利半岛的古希腊。柏拉图学园门口挂着“不懂几何者，不得入内。”当时的几何，即是指数学。下图是意大利著名画家拉斐尔的《雅典学园》取材于公元前4世纪古希腊哲学家柏拉图举办柏拉图学园的故事，整幅画洋溢着浓厚的学术氛围。在画中，两位古代伟大的数学家被画家安排在很显著的位置。左边方框中的中心人物是古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯，右边是编撰《几何原本》的古希腊数学家欧几里得。
拉斐尔，《雅典学园》
欧几里得生活于约公元前年到公元前年之间，被称为“几何之父”，欧几里得几何学成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范。在之后的多年间，这一严格的思维形式，不仅用于数学，也用于其他科学，甚至用于神学、哲学和伦理学中，产生了深远的影响。
这里我们要特别提到一位著名的女数学家希帕提娅。她出生在埃及亚历山大里亚城，是世界上有记载的第一位女数学家。也另有说法，在希帕提娅之前其实也有不少女性从事数学研究，但她们的作品没有流传下来。希帕提娅的父亲赛翁（Theon）是有名的数学家和天文学家，希帕提娅协助父亲完成几何原本的现在版本，这位聪慧的女性以她的才华和贡献跻身于古代世界最优秀的学者之列。公元年她惨死于暴徒手下。希帕提娅虽去世一千五百多年了，但她的科学精神鼓舞了一代又一代的青年人，尤其是女士们从事数学研究。今天女数学家的比例越来越高，如在世界一流大学工作的华裔女数学家就有许多。
古希腊著名数学家、哲学家希帕提娅
文献中普遍认为：欧几里得是在公元前年左右完成了《几何原本》一书。全书分13卷。有5条“公理”或“公设”、23个定义和个命题。欧几里得由公理,公设和定义出发，严格推导出命题。他严格论证了毕达哥拉斯定理，即“勾股定理”，从而确定了勾股定理的正确性。
远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，还知道许多勾股数组。古埃及人也应用过勾股定理。在中国，西周早期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。勾股定理等价于证明：在一直角三角形中，斜边上的正方形的面积等于两条直角边上的两个正方形的面积之和。
赵爽是我国数学家，他是东汉末至三国时代吴国人。赵爽为《周髀算经》作注时，解释了《周髀算经》中勾股定理，并给出了证明：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中*实，加差实，亦成弦实。”年国际数学家大会会标的灵感就来源于此，这个标志现在也是中国数学会的标志。
赵爽弦图
中国数学会的标志
古希腊数学家泰阿泰德发现只存在5种正多面体，不存在第6种。这一结果的证明最早也是出现在欧几里得的《几何原本》中。柏拉图的宇宙观基本上是一种数学的宇宙观。他设想宇宙开头有两种直角三角形，一种是正方形的一半，另一种是等边三角形的一半。从这些三角形就合理地产生出四种正多面体，组成四种元素。火是正四面体，气是正八面体，水是正二十面体，土是立方体。第五种正多面体是由正五边形形成的十二面体，这是组成天上物质的第五种元素，叫做以太。5种正多面体被称为“柏拉图立体”。可见被授予光环的也不一定是原本的发现者。
5种正多面体
仔细观察，城市中很多球形建筑上都有12个特殊的点，比如位于北京奥森公园附近的中国科技馆，这些球形建筑上的12个特殊点每个点由5个三角形组成，这是多面体几何性质约束的结果。大家有兴趣可以去现场找找这12个特殊点。其实，在两千多年前古希腊数学家已经发现了这一特点。
中国科技馆
大型球状建筑物，类似于将正二十面体每个三角形切分成4个三角形，然后将每一个新的三角形再同样切分，依次切分下去，得到若干小三角形侧面，将它们“吹鼓”起来变成类球体形状。之前提到的中国科技馆球状建筑就是这样，由成千上万块小三角形拼成，球体表面的12个特殊的点就是原本正二十面体的12个顶点。在生活中，我们还可以看到类似的物品，比如足球其实是截去顶点并稍加吹鼓起来的正二十面体。
欧几里得《几何原本》中还有关于数论的结果：有无穷多个素数。素数是只能被1和自己整除的正整数，如2，3，5，7，11，13……任何整数都可以分解成素数的乘积，所以素数被认为是数的“原子”。数论是数学的核心分支之一，研究素数是一个重要部分，许多著名猜想都与素数有关，如被誉为“皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想：任一大于2的偶数都可写成两个素数之和。至今最好的结果是年陈景润先生证明的。还有有关黎曼ζ函数的零点分布著名的黎曼猜想。素数理论被用于信息安全技术，有无穷多个素数是现代信息安全技术的基础。
素数不仅有无穷多个，我们还能描述它的分布，素数定理就是其中一个描述。素数定理（PrimeNumberTheorem）叙述如下：
设x≥1，以π(x)表示不超过x的素数的个数，则当x趋于无穷时，
π(x)～x/ln(x)。
年，阿达马和德·拉·瓦莱布桑（Charles-JeandelaValléePoussin）各自独立地证明了素数定理。年，塞尔伯格和埃尔德什（PaulErds）分别独立地给出了素数定理的完全“初等”的证明，这是塞尔伯格获得菲尔茨奖的一个重要工作。由素数定理，我们可以估计素数的个数，如果x是1亿，素数有多万个。如果x是亿，素数有3亿多个。我们还可求π(x)的渐进展开公式，第二个本质项的幂次大小与黎曼猜想紧密相关。
素数理论在好莱坞电影中也出现。获奥斯卡奖的好莱坞科幻电影《超时空接触》中就有素数理论的应用。女主人公利用素数的数学理论破译了来自外太空的密码，这些密码是生产时空机器的图纸和说明。时空机器制造出来后，女主人公成为人类首位与外星生命接触的使者，飞越宇宙，与外太空的生命进行理智的接触。
好莱坞科幻电影《超时空接触》海报
数学结论最基本的要求是“正确”，无论多么显然的结论，都需要从已知的确定结论通过正确的推理得出。这成为数学最显著的特征。几何原本提出五大公设,其中第五公设相比前四个公设不那么显而易见。那么，第五公设能否作为公设，而作为定理？循着这条路线望去，这就是最著名的、争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。由此产生了很多意想不到的、具有重要价值和意义的研究成果。
在年左右，俄国罗巴切夫斯基，匈牙利雅诺什发现了第五公设不可证明，创立了非欧几何学。雅诺什在研究非欧几何学的过程中也遭到了家庭社会的冷漠对待，他的父亲——数学家鲍耶·法尔卡什劝他放弃。高斯也发现第五公设不能证明，并且研究了非欧几何。但是高斯害怕这种理论会遭到教会力量的打击，不敢公开发表。可见探索真理的道路并不是一帆风顺的，是非常艰苦的，需要持之以恒的努力和坚定的信念。
双曲几何中有四种常用模型，庞加莱圆盘模型是其中一种，如下图所示，有无穷多条线通过一个给定的点且平行于一条给定的线。
庞加莱圆盘
著名数学家黎曼年创立黎曼几何，引进了流形和度量的概念，证明曲率是度量的唯一内涵不变量，具有划时代的意义。从欧几里得的第五条公设引发的